第3問

平面上の点

O

と

A

を固定し、平面の各点を有限個の色のいずれかで塗る。点

X

に対し、

C(X)

を中心

O

、半径

OX+\frac{\angle AOX}{OX}

の円とする。ただし

\angle AOX

はラジアンで

\left[0,2\pi\right)

の範囲で測る。

OA

上にない点

X

で、

X

の色が円

C(X)

の円周上にも現れるものが存在することを示せ。

ステップ 3/6: 点の行列を作る

ざっくり言うと

行列は記録の道具であり、一行下かつ一列右へ進むと二つの添字の和だけ外側の円を選ぶ。

M=(x_{i,j})_{i,j\ge1},\quad x_{i,j}\in\mathcal C_i,\quad C(x_{i,j})=\mathcal C_{i+j}

詳しい解説

これらの点を無限行列に並べ、 $i$ 行を $\mathcal C_i$ 上の点からなる行とする。 $i$ 行 $j$ 列の点は添字 $i+j$ の円を指定する。