Math Labs

Bài 6

Với mọi số thực x1x_1, lập dãy bởi xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right). Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một giá trị x1x_1 sao cho 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1 với mọi nn.
Bước 1 trên 5: Mã hóa truy hồi thành các ánh xạ lặp
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Thay vì theo dõi một giá trị đầu qua nhiều bước, ta gói nn lần cập nhật đầu thành một đường cong tăng SnS_n.

S0(t)=t,Sn(t)=Sn−1(t)(Sn−1(t)+1n)S_0(t)=t,\qquad S_n(t)=S_{n-1}(t)\left(S_{n-1}(t)+\frac1n\right)
Phân tích chi tiết

Đặt S0(t)=tS_0(t)=t và Sn(t)=Sn−1(t)(Sn−1(t)+1/n)S_n(t)=S_{n-1}(t)(S_{n-1}(t)+1/n). Khi đó xn+1=Sn(x1)x_{n+1}=S_n(x_1). Mỗi SnS_n là đa thức có hệ số không âm, nên liên tục và tăng nghiêm ngặt trên [0,1][0,1]; hơn nữa Sn(0)=0S_n(0)=0 và Sn(1)>1S_n(1)>1.