Math Labs

Bài 2

Cho điểm P0P_0 trong mặt phẳng của tam giác A1A2A3A_1A_2A_3, đặt As=As−3A_s=A_{s-3} với mọi s≥4s\ge4. Dựng các điểm P1,P2,…P_1,P_2,\ldots sao cho Pk+1P_{k+1} là ảnh của PkP_k qua phép quay thuận chiều kim đồng hồ góc 120∘120^\circ tâm Ak+1A_{k+1}. Chứng minh rằng nếu P1986=P0P_{1986}=P_0 thì tam giác A1A2A3A_1A_2A_3 là tam giác đều.
Bước 1 trên 5: Chuẩn hóa và biểu diễn phép quay
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Một phép đồng dạng cho phép đặt hai tâm đầu tiên tại 00 và 11; phép quay thuận chiều kim đồng hồ 120∘120^\circ là phép nhân với số phức đơn vị ω\omega.

A1=0,A2=1,A3=a,ω=e4iπ/3A_1=0,\quad A_2=1,\quad A_3=a,\quad \omega=e^{4i\pi/3}
Hệ số quay thuận chiều kim đồng hồ 120∘120^\circ là ω=e4iπ/3\omega=e^{4i\pi/3} trên đường tròn đơn vị.
Đường tròn đơn vị với điểm ở góc $240^\circ$, là hệ số của phép quay thuận chiều kim đồng hồ $120^\circ$.
Phân tích chi tiết

Đặt A1=0A_1=0, A2=1A_2=1, A3=aA_3=a và ω=e4iπ/3\omega=e^{4i\pi/3}. Phép quay tâm cc biến PP thành ω(P−c)+c\omega(P-c)+c.