Math Labs

Bài 2

Trong tam giác nhọn ABCABC, đường phân giác trong của góc AA cắt BCBC tại LL và cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC tại NN. Từ điểm LL, kẻ các đường vuông góc xuống ABAB và ACAC, với chân đường vuông góc lần lượt là KK và MM. Chứng minh rằng tứ giác AKNMAKNM và tam giác ABCABC có diện tích bằng nhau.
Bước 1 trên 5: AKLM là tứ giác diều: hai đường chéo vuông góc
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Gấp hình theo ALAL sẽ hoán đổi KK với MM và phía của BB với phía của CC, vì ALAL chính là đường phân giác — chính tính đối xứng này buộc KM⊥ALKM\perp AL.

AK=AM=ALcos⁡A2,LK=LM=ALsin⁡A2AK = AM = AL\cos\frac{A}{2}, \qquad LK = LM = AL\sin\frac{A}{2}
Phân tích chi tiết

Vì ALAL là phân giác góc AA và LK⊥ABLK \perp AB, LM⊥ACLM \perp AC, hai tam giác vuông AKLAKL và AMLAML có chung cạnh huyền ALAL và góc bằng nhau ∠KAL=∠MAL=A/2\angle KAL = \angle MAL = A/2, nên chúng bằng nhau: AK=AM=ALcos⁡(A/2)AK=AM=AL\cos(A/2) và LK=LM=ALsin⁡(A/2)LK=LM=AL\sin(A/2). Do đó AKLMAKLM là tứ giác diều đối xứng qua ALAL, và hai đường chéo ALAL, KMKM của nó vuông góc với nhau.