Math Labs

Bài 3

Cho x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n là các số thực thỏa x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên k≥2k \ge 2, tồn tại các số nguyên a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, không đồng thời bằng 00, sao cho ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1 với mọi ii và ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1}.
Bước 1 trên 6: Quy về các trọng số không âm
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Làm việc với ∣xi∣|x_i| thay vì xix_i loại bỏ mọi rắc rối về dấu; ta luôn có thể gắn lại đúng dấu cho aia_i ở bước cuối mà không làm thay đổi ∣aixi∣|a_ix_i|.

yi=∣xi∣≥0,y12+⋯+yn2=1y_i = |x_i| \ge 0, \qquad y_1^2+\cdots+y_n^2 = 1
Phân tích chi tiết

Đặt yi=∣xi∣≥0y_i=|x_i|\ge0 với mỗi ii; khi đó ∑yi2=∑xi2=1\sum y_i^2=\sum x_i^2=1 vẫn đúng. Chỉ cần tìm các số nguyên d1,…,dnd_1,\ldots,d_n, không đồng thời bằng 0, với ∣di∣≤k−1|d_i|\le k-1 và ∣∑diyi∣≤(k−1)nkn−1\left|\sum d_i y_i\right|\le \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}: một khi tìm được các did_i như vậy, đặt ai=dia_i=d_i khi xi≥0x_i\ge0 và ai=−dia_i=-d_i khi xi<0x_i<0 sẽ cho aixi=diyia_ix_i=d_iy_i với mọi ii, nên ∑aixi=∑diyi\sum a_ix_i=\sum d_iy_i có cùng giá trị tuyệt đối, và ∣ai∣=∣di∣≤k−1|a_i|=|d_i|\le k-1.