Math Labs

Bài 6

Cho a,ba,b là các số nguyên dương sao cho ab+1ab+1 chia hết a2+b2a^2+b^2. Chứng minh (a2+b2)/(ab+1)(a^2+b^2)/(ab+1) là bình phương của một số nguyên.
Bước 1 trên 4: Cố định thương nguyên và chọn nghiệm cực tiểu
Bước trướcBước tiếp
a2+b2=k(ab+1),k=a2+b2ab+1∈Z>0a^2+b^2=k(ab+1),\qquad k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\in\mathbb Z_{>0}
Phân tích chi tiết

Viết a2+b2=k(ab+1)a^2+b^2=k(ab+1) với k=a2+b2ab+1∈Z>0k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\in\mathbb Z_{>0}. Với k cố định, trong mọi nghiệm nguyên dương hãy chọn nghiệm có min⁡(a,b)\min(a,b) nhỏ nhất. Do đối xứng, giả sử b≤ab\le a.