Bài 1

Cho tam giác ABC, gọi I là tâm nội tiếp. Các đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt gặp các cạnh đối diện tại A', B', C'. Chứng minh rằng

1/4<AI\cdot BI\cdot CI/(AA'\cdot BB'\cdot CC')\le8/27

Bước 1 trên 4: Đổi ba tỉ số bằng diện tích

Bước trước Bước tiếp

p=AB+BC+CA,\qquad AI/AA'=(CA+AB)/p

Phân tích chi tiết

Gọi p là chu vi và r là bán kính nội tiếp. Diện tích ABI và CAI lần lượt là AB·r/2 và CA·r/2; tổng của chúng chia cho diện tích ABC bằng AI/AA'. Do đó AI/AA'=(CA+AB)/p, và tương tự hai tỉ số kia là (AB+BC)/p và (BC+CA)/p.