Math Labs

Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1991

Đề thi

  1. Bài 1Cho tam giác ABC, gọi I là tâm nội tiếp. Các đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt gặp các cạnh đối diện tại A', B', C'. Chứng minh rằng 1/4<AI⋅BI⋅CI/(AA′⋅BB′⋅CC′)≤8/271/4<AI\cdot BI\cdot CI/(AA'\cdot BB'\cdot CC')\le8/27. Các cách giải: 1
  2. Bài 2Cho n>6 là số nguyên và a1,a2,…,aka_1,a_2,\ldots,a_k là tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn n, nguyên tố cùng nhau với n, được sắp tăng dần. Nếu a2−a1=a3−a2=⋯=ak−ak−1>0a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0, chứng minh n là số nguyên tố hoặc lũy thừa của 2. Các cách giải: 1
  3. Bài 3Cho S={1,2,3,…,280}S=\{1,2,3,\ldots,280\}. Tìm số nguyên n nhỏ nhất sao cho mọi tập con n phần tử của S đều chứa năm số đôi một nguyên tố cùng nhau. Các cách giải: 1
  4. Bài 4Cho G là một đồ thị liên thông có k cạnh. Chứng minh có thể gán nhãn các cạnh bằng 1,2,…,k1,2,\ldots,k sao cho tại mỗi đỉnh thuộc từ hai cạnh trở lên, ước chung lớn nhất của các số gán cho những cạnh đó bằng 1. Các cách giải: 1
  5. Bài 5Cho ABC là một tam giác và X là điểm nằm trong tam giác ABC. Chứng minh ít nhất một trong các góc XAB, XBC, XCA không lớn hơn 30 độ.Các cách giải: 1
  6. Bài 6Cho số thực bất kỳ a>1, hãy xây dựng một dãy vô hạn bị chặn x0,x1,x2,…x_0,x_1,x_2,\ldots sao cho ∣xn−xm∣ ∣n−m∣a≥1|x_n-x_m|\,|n-m|^a\ge1 với mọi cặp chỉ số n,m khác nhau. Các cách giải: 1