国際数学オリンピック 1991

第1問三角形ABCの内心をIとする。角A,B,Cの内角の二等分線が対辺と交わる点をそれぞれA',B',C'とする。

1/4<AI\cdot BI\cdot CI/(AA'\cdot BB'\cdot CC')\le8/27

を証明せよ。解答: 1

第2問n>6を整数とし、

a_1,a_2,\ldots,a_k

をn未満でnと互いに素な正整数を昇順に並べたものとする。

a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0

ならば、nは素数または2のべきであることを証明せよ。解答: 1

S=\{1,2,3,\ldots,280\}

とする。Sの各n要素部分集合が、任意の2つが互いに素な5個の数を含むような最小の整数nを求めよ。解答: 1

第4問k本の辺をもつ連結グラフGを考える。各辺に

1,2,\ldots,k

を付け、2本以上の辺に接する各頂点で、それらの辺のラベルの最大公約数が1となるようにできることを証明せよ。解答: 1

第5問ABCを三角形、Xをその内部点とする。角XAB、XBC、XCAの少なくとも1つが30度以下であることを示せ。解答: 1

第6問任意の実数a>1に対し、相異なるn,mのすべてについて

|x_n-x_m|\,|n-m|^a\ge1

を満たす有界な無限列

x_0,x_1,x_2,\ldots

を構成せよ。解答: 1