MathLabs

Bài 2

Trong tam giác cân ABCABC với AB=ACAB=AC, gọi MM là trung điểm của BCBC và lấy O∈AMO\in AM sao cho OB⊥ABOB\perp AB. Với Q∈BCQ\in BC, gọi E∈ABE\in AB và F∈ACF\in AC là hai điểm phân biệt thẳng hàng với QQ. Chứng minh OQ⊥EFOQ\perp EF khi và chỉ khi QE=QFQE=QF.
Bước 1 trên 4: Dùng tính vuông góc để lập các tứ giác nội tiếp
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hai góc vuông cho phép đưa các điểm vào cùng một đường tròn.

EBOQ and OQCF are cyclicEBOQ\text{ and }OQCF\text{ are cyclic}
Phân tích chi tiết

Giả sử OQ⊥EFOQ\perp EF. Vì EB⊂ABEB\subset AB và OB⊥ABOB\perp AB nên ∠EBO=90∘\angle EBO=90^\circ; lại có EQ⊂EFEQ\subset EF nên ∠EQO=90∘\angle EQO=90^\circ. Do đó EBOQEBOQ nội tiếp. Tương tự, đối xứng cho OC⊥ACOC\perp AC, nên ∠OCF=∠OQF=90∘\angle OCF=\angle OQF=90^\circ và OQCFOQCF nội tiếp.