Math Labs

Bài 5

Gọi SS là tập các số thực lớn hơn −1-1. Tìm mọi hàm f:S→Sf:S\to S sao cho f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x) với mọi x,y∈Sx,y\in S, và f(x)x\frac{f(x)}{x} tăng nghiêm ngặt trên mỗi khoảng −1<x<0-1<x<0 và 0<x0<x.
Bước 1 trên 4: Lan truyền điểm bất động
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Thay một điểm bất động vào hai biến sẽ tạo ra điểm bất động khác.

f(a)=a⟹f(2a+a2)=2a+a2f(a)=a\Longrightarrow f(2a+a^2)=2a+a^2
Phân tích chi tiết

Nếu f(a)=af(a)=a, đặt x=y=ax=y=a trong phương trình hàm. Hai vế cho thấy b=2a+a2b=2a+a^2 cũng là điểm bất động: f(b)=bf(b)=b. Với −1<a<0-1<a<0, ta có −1<b<a-1<b<a; với a>0a>0, ta có b>ab>a.