Math Labs

Bài 1

In plane, điểms với nguyên coordinates là đỉnh của unit bình phươngs, colored alternately black và white as trên a chessbảng. Fhoặc số nguyên dương m,n m,n , consider a right tam giác với nguyên-coordinate đỉnh và legs của độ dàlà m,n m,n along bình phương cạnh. Cho S1 S_1 be black diện tích và S2 S_2 white diện tích. Define f(m,n)=∣S1−S2∣ f(m,n)=|S_1-S_2| Bản dịch: . (a) Calculate f(m,n) f(m,n) Bản dịch: when m,n m,n là both even hoặc both odd. (b) Chứng minh f(m,n)≤max⁡(m,n)/2 f(m,n)\le\max(m,n)/2. (c) Chứng minh rằng no hằng số C C Bản dịch: satisfies f(m,n)<C f(m,n)<C với mọi m,n m,n .
Bước 1 trên 3: Tính equal-parity cases
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Tính equal-parity cases

f(m,n)=0 or 1/2f(m,n)=0\text{ or }1/2
Phân tích chi tiết

Complete tam giác đến a rectgóc và rotate it bởi 180∘180^\circ about midđiểm của its hypotenuse. Nếu m,n m,n là even, midđiểm là a lattice điểm và two halves have equal black và white diện tíchs, so f(m,n)=0 f(m,n)=0. Nếu both là odd, midđiểm là tâm của a unit bình phương và rectgóc has colhoặc excess 11, so mỗi half has excess 1/21/2.