Math Labs

Bài 3

Cho n≥2 n\ge2 be a số nguyên dương. Initially there là n n fleas trên a horizontal đường thẳng, không tất cả tại same điểm. Fhoặc a positive real số λ\lambda , a bước đi chooses fleas tại A A và B B với A A đến left của B B , và lets flea tại A A jump đến C C đến right của B B so thtại BC=λAB BC=\lambda AB . Xác định tất cả λ\lambda sao cho, với mọi điểm M M và mỗi initial position, a finite dãy của bước đlà puts tất cả fleas đến right của M M .
Bước 1 trên 4: Chứng minh tính cần thiết dưới ngưỡng
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Dùng một đơn biến bị chặn.

0<λ<1n−10<\lambda<\frac1{n-1}
Phân tích chi tiết

Giả sử 0<λ<1/(n−1)0<\lambda<1/(n-1) và sắp xếp vị trí là x1≤⋯≤xnx_1\le\cdots\le x_n. Gọi XX là tổng khoảng cách từ các con bọ tới con bọ phải nhất. Nếu con phải nhất không đổi, XX giảm; nếu nó tiến thêm zz, XX giảm ít nhất (1/λ−(n−1))z>0(1/\lambda-(n-1))z>0. Vì vậy tổng độ tiến bị chặn.