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第3题

求所有正整数对 m,n≥3m,n\ge3,使得存在无穷多个正整数 aa,令 am+a−1an+a2−1\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} 为整数。
第 2/3 步:限制指数
通俗地说

分母多项式的实根排除 m>2n。

n<m≤2nn<m\le2n
详细分析

显然 m>nm>n。若 m>2nm>2n,取 0<r<10<r<1 满足 rn+r2=1r^n+r^2=1。整除性给出 rm+r−1=0r^m+r-1=0,但 r>3/4r>3/4 且 rm<r2n=(1−r2)2<1−rr^m<r^{2n}=(1-r^2)^2<1-r,矛盾。因此 undefined。