MathLabs

Bài 4

Cho n≥2n\ge2 là số nguyên dương có các ước 1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n. Chứng minh d1d2+d2d3+⋯+dk−1dkd_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k luôn nhỏ hơn n2n^2, và xác định khi nào nó là ước của n2n^2.
Bước 1 trên 3: Ghép các ước bổ sung
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Đảo thứ tự các tích liên tiếp và dùng =n.

S=∑i=1k−1didi+1=n2∑i=1k−11didi+1S=\sum_{i=1}^{k-1}d_id_{i+1}=n^2\sum_{i=1}^{k-1}\frac1{d_id_{i+1}}
Phân tích chi tiết

Vì didk−i+1=nd_i d_{k-i+1}=n, đảo thứ tự các tích liên tiếp cho phép ghép các ước bổ sung trong tổng.