MathLabs

第6题

设 n≥3n\ge3 为正整数。平面上有 n 个单位圆 C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n，其圆心分别为 O1,O2,…,OnO_1,O_2,\ldots,O_n。若没有直线与超过两个圆相交，证明 ∑1≤i<j≤n1OiOj≤(n−1)π4\sum_{1\le i<j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4}。
第 3/3 步：求和完成证明
上一步下一步
通俗地说

可用的总角长度至多为 2(n−1)π2(n-1)\pi。

8∑i<j1OiOj≤2(n−1)π8\sum_{i<j}\frac1{O_iO_j}\le2(n-1)\pi
详细分析

对每一对圆，第一步给出 8/OiOj=8sin⁡(θij/2)≤4θij8/O_iO_j=8\sin(\theta_{ij}/2)\le4\theta_{ij}。对所有圆对求和并使用 αi\alpha_i 的定义，得到 8∑i<j1OiOj≤4∑i<jθij=∑iαi≤2(n−1)π8\sum_{i<j}\frac1{O_iO_j}\le4\sum_{i<j}\theta_{ij}=\sum_i\alpha_i\le2(n-1)\pi。两边除以 88，即得 ∑i<j1OiOj≤(n−1)π4\sum_{i<j}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4}，证毕。