Math Labs

Bài 4

Cho ABCDABCD là một tứ giác nội tiếp. Gọi P,Q,RP,Q,R lần lượt là chân đường vuông góc từ DD xuống các đường thẳng BC,CA,ABBC,CA,AB. Chứng minh PQ=QRPQ=QR khi và chỉ khi các đường phân giác của góc ABCABC và ADCADC cắt nhau trên đoạn ACAC.
Bước 1 trên 7: Suy ra đường Simson
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Ba chân đường vuông góc thẳng hàng, còn đẳng thức cần chứng minh chính là điều kiện trung điểm.

P,Q,R are collinear, and PQ=QR  ⟺  Q is the midpoint of PRP,Q,R\text{ are collinear, and }PQ=QR\iff Q\text{ is the midpoint of }PR
Phân tích chi tiết

Vì DQ⊥ACDQ\perp AC, DP⊥BCDP\perp BC và DR⊥ABDR\perp AB, các tứ giác CQDPCQDP, BPDRBPDR và AQDRAQDR nội tiếp. Dùng góc định hướng modulo 180∘180^\circ, các tính chất nội tiếp này cùng với ABCDABCD nội tiếp cho ∠(PQ,QC)=∠(PD,DC)=∠(DR,DA)=∠(QR,QA)\angle(PQ,QC)=\angle(PD,DC)=\angle(DR,DA)=\angle(QR,QA). Vì QAQA và QCQC là cùng một đường thẳng, PQPQ và QRQR cũng là cùng một đường thẳng. Do đó P,Q,RP,Q,R thẳng hàng, và trên đường này PQ=QRPQ=QR đúng khi và chỉ khi QQ là trung điểm của PRPR.