Math Labs

Bài 5

Cho nn là số nguyên dương và x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n là các số thực. Chứng minh (∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣)2≤2(n2−1)3∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2, với đẳng thức khi và chỉ khi x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n lập thành cấp số cộng.
Bước 1 trên 3: Sắp thứ tự và lấy khoảng cách
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Sắp xếp các số để mọi hiệu là tổng các khoảng liên tiếp.

di=xi+1−xi≥0d_i=x_{i+1}-x_i\ge0
Phân tích chi tiết

Vì hai tổng kép đối xứng theo các xix_i, ta đổi nhãn để x1≤⋯≤xnx_1\le\cdots\le x_n và đặt di=xi+1−xi≥0d_i=x_{i+1}-x_i\ge0. Với i<ji<j, khi đó ∣xj−xi∣=∑r=ij−1dr|x_j-x_i|=\sum_{r=i}^{j-1}d_r và xj−xi=∑r=ij−1drx_j-x_i=\sum_{r=i}^{j-1}d_r.