Math Labs

Bài 1

Cho ABCABC là một tam giác nhọn với AB≠ACAB\ne AC. Đường tròn đường kính BCBC cắt các cạnh ABAB và ACAC lần lượt tại MM và NN. Gọi OO là trung điểm cạnh BCBC. Các đường phân giác của góc ∠BAC\angle BAC và góc ∠MON\angle MON cắt nhau tại RR. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMRBMR và CNRCNR có một điểm chung nằm trên cạnh BCBC.
Bước 1 trên 4: Nhận ra M,NM,N là chân đường cao
Bước trướcBước tiếp
BM⊥AB (since ∠BMC=90∘), CN⊥AC (since ∠BNC=90∘); H:=CM∩BN=orthocenterBM\perp AB \text{ (since } \angle BMC=90^\circ\text{)},\ CN\perp AC \text{ (since }\angle BNC=90^\circ\text{)};\ H:=CM\cap BN=\text{orthocenter}
Phân tích chi tiết

Vì M nằm trên đường tròn đường kính BC nên angle BMC=90^circ, suy ra CMperp AB. Tương tự BNperp AC. Do đó M,N lần lượt là chân các đường cao từ C,B, và H=CMcap BN là trực tâm. MM BCBC angleBMC=90circangle BMC=90^circ CMperpABCMperp AB BNperpACBNperp AC MM NN CC BB H=CMcapBNH=CMcap BN