Bài 3

Định nghĩa một hook là hình gồm sáu ô vuông đơn vị tạo bởi một hàng ba ô và một cột bốn ô chung một ô góc, cùng với một ô nữa gắn thêm ở đầu xa của hàng (hoặc bất kỳ hình nào thu được từ hình này bằng phép quay và phản xạ). Xác định tất cả các hình chữ nhật

m\times n

có thể được phủ kín không chồng lấn và không thừa bởi các hook như vậy, không phần nào của hook nằm ngoài hình chữ nhật.

Bước 5 trên 6: Lập luận tô màu trên hai loại tile

Bước trước Bước tiếp

\text{color every 4th column red}: \#\text{red cells covered by a type-1 tile is odd, by a type-2 tile is even} \implies \#\text{type-1 tiles is even}

Phân tích chi tiết

Ở loại $1$ , hai hook cùng chiếm bốn cột liên tiếp, mỗi cột đúng $3$ ô; mỗi hàng mà tile chạm tới chứa $2$ hoặc $4$ ô. Ở loại $2$ , vai trò hàng và cột đổi chỗ: tile chiếm bốn hàng liên tiếp, mỗi hàng có $3$ ô, và mỗi cột mà tile chạm tới chứa $2$ hoặc $4$ ô. Tô màu các cột có chỉ số là bội của $4$ . Trong trường hợp cần dùng dưới đây, cả hai cạnh đều chẵn, nên hình chữ nhật có số ô đỏ chẵn. Tile loại $1$ gặp đúng một cột trong mỗi khối bốn cột, vì thế phủ đúng $3$ ô đỏ, là số lẻ. Tile loại $2$ phủ trong mỗi cột đỏ mà nó gặp hoặc $2$ hoặc $4$ ô, nên phủ số ô đỏ chẵn. Vì các tile phân hoạch hình chữ nhật, số tile loại $1$ là chẵn. Đổi vai trò hàng và cột cho cùng kết luận số tile loại $2$ cũng chẵn.