MathLabs

Bài 5

Trong một tứ giác lồi ABCDABCD, đường chéo BDBD không phân giác góc ∠ABC\angle ABC cũng không phân giác góc ∠CDA\angle CDA. Điểm PP nằm bên trong ABCDABCD và thỏa mãn ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. Chứng minh rằng ABCDABCD là một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi AP=CPAP=CP.
Bước 1 trên 5: Liên hợp đẳng giác trong △PBD\triangle PBD
Bước trướcBước tiếp
P∉BD,∠PBC=∠DBA, ∠PDC=∠BDA  ⟹  A,C isogonal conjugates in △PBD  ⟹  ∠APB+∠CPD=180∘P\notin BD,\quad \angle PBC=\angle DBA,\ \angle PDC=\angle BDA \implies A,C\text{ isogonal conjugates in }\triangle PBD \implies \angle APB+\angle CPD=180^\circ
Phân tích chi tiết

Các giả thiết không phân giác suy ra P∉BDP\notin BD: nếu P nằm trên BD, điều kiện góc đầu trở thành ∠PBC=∠DBC\angle PBC=\angle DBC, khiến BD phân giác góc tại B. Vì thế △PBD\triangle PBD không suy biến. Điều kiện thứ nhất làm BA và BC đẳng giác tại B, điều kiện thứ hai làm DA và DC đẳng giác tại D. Định lý đẳng giác sơ cấp cho ba đường cevian, suy ra bằng cách phản xạ hai cặp qua các phân giác, cho PA,PCPA,PC đẳng giác tại P. Vì P nằm trong tứ giác, ∠APB+∠CPD=180∘\angle APB+\angle CPD=180^\circ.