Bài 2

Cho

a_1, a_2, \dots

là một dãy số nguyên có vô hạn số hạng dương và vô hạn số hạng âm. Giả sử với mọi số nguyên dương

n

, các số

a_1, a_2, \dots, a_n

cho

n

số dư khác nhau khi chia cho

n

. Chứng minh rằng mỗi số nguyên xuất hiện đúng một lần trong dãy.

Bước 1 trên 5: Không số hạng nào lặp lại

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Nếu hai số hạng bằng nhau, chúng hiển nhiên có cùng số dư, mâu thuẫn với giả thiết các số dư ban đầu đều khác nhau.

i<j,\ a_i=a_j\ \Longrightarrow\ \text{contradiction at }n=j

Phân tích chi tiết

Giả sử $a_i=a_j$ với $i<j$ nào đó, lấy $n=j$ . Trong $a_1,\dots,a_n$ , giả thiết buộc có $n$ số dư khác nhau khi chia cho $n$ , nhưng $a_i\equiv a_j\pmod n$ hiển nhiên vì $a_i=a_j$ — mâu thuẫn. Vậy mỗi số nguyên xuất hiện trong dãy nhiều nhất một lần.