Math Labs

Bài 3

Cho x,y,z>0x, y, z > 0 thỏa mãn xyz≥1xyz\ge 1. Chứng minh rằng x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
Bước 1 trên 5: So sánh mỗi số hạng với một phân thức đơn giản hơn
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hiệu giữa số hạng ban đầu và phiên bản có mẫu số dễ chịu hơn hóa ra bằng một bình phương đầy đủ nhân với một đại lượng không âm, nên không bao giờ sai dấu.

x5−x2x5+y2+z2−x5−x2x3(x2+y2+z2)=x2(x3−1)2(y2+z2)(x5+y2+z2) x3(x2+y2+z2)≥0\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}-\frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2(x^3-1)^2(y^2+z^2)}{(x^5+y^2+z^2)\,x^3(x^2+y^2+z^2)}\ge0
Phân tích chi tiết

Biến đổi đại số trực tiếp cho thấy hiệu hai phân thức bằng x2(x3−1)2(y2+z2)(x5+y2+z2) x3(x2+y2+z2)\dfrac{x^2(x^3-1)^2(y^2+z^2)}{(x^5+y^2+z^2)\,x^3(x^2+y^2+z^2)}, có cả tử và mẫu đều không âm với x,y,z>0x,y,z>0. Vậy x5−x2x5+y2+z2≥x5−x2x3(x2+y2+z2)\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\dfrac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)} với mọi x,y,z>0x,y,z>0, chưa cần dùng đến xyz≥1xyz\ge1.