Math Labs

Bài 1

Cho tam giác ABCABC có tâm đường tròn nội tiếp II. Một điểm PP nằm trong tam giác thỏa mãn ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB. Chứng minh rằng AP≥AIAP \geq AI, và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P=IP=I.
Bước 1 trên 4: Tính ∠BPC\angle BPC từ điều kiện góc
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hai tổng góc (∠PBA+∠PCA)(\angle PBA+\angle PCA) và (∠PBC+∠PCB)(\angle PBC+\angle PCB) cộng lại bằng ∠B+∠C\angle B+\angle C; vì chúng bằng nhau nên mỗi tổng bằng một nửa ∠B+∠C\angle B+\angle C, cũng chính là phần mà hai đường phân giác cắt ra cho II.

∠PBC+∠PCB=∠B+∠C2 ⟹ ∠BPC=180∘−∠B+∠C2=90∘+∠A2=∠BIC\angle PBC+\angle PCB=\frac{\angle B+\angle C}{2}\ \Longrightarrow\ \angle BPC=180^\circ-\frac{\angle B+\angle C}{2}=90^\circ+\frac{\angle A}{2}=\angle BIC
Phân tích chi tiết

Vì PP nằm trong △ABC\triangle ABC, ∠B=∠PBA+∠PBC\angle B=\angle PBA+\angle PBC và ∠C=∠PCA+∠PCB\angle C=\angle PCA+\angle PCB. Cộng hai đẳng thức này và dùng ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB được 2(∠PBC+∠PCB)=∠B+∠C2(\angle PBC+\angle PCB)=\angle B+\angle C, nên ∠PBC+∠PCB=12(∠B+∠C)\angle PBC+\angle PCB=\frac12(\angle B+\angle C). Trong △BPC\triangle BPC điều này cho ∠BPC=180∘−12(∠B+∠C)=90∘+12∠A\angle BPC=180^\circ-\frac12(\angle B+\angle C)=90^\circ+\frac12\angle A, đúng bằng giá trị quen thuộc của ∠BIC\angle BIC.