Math Labs

Bài 5

Cho P(x)P(x) là đa thức bậc n>1n>1 với hệ số nguyên, và kk là số nguyên dương. Đặt Q(x)=P(P(…P(x)…))Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots)), trong đó PP xuất hiện kk lần. Chứng minh rằng có nhiều nhất nn số nguyên tt sao cho Q(t)=tQ(t)=t.
Bước 1 trên 8: Ghi nhận bổ đề chia hết trên số nguyên
Bước trướcBước tiếp
u−v∣P(u)−P(v)(u,v∈Z, u≠v)u-v\mid P(u)-P(v)\qquad(u,v\in\mathbb Z,\ u\ne v)
Phân tích chi tiết

Với u,vu,v là các số nguyên phân biệt, mọi hiệu uj−vju^j-v^j đều chia hết cho u−vu-v. Vì PP có hệ số nguyên, cộng các tính chia hết này cho ta u−v∣P(u)−P(v)u-v\mid P(u)-P(v).