Bài 6

Gán cho mỗi cạnh

b

của một đa giác lồi

P

diện tích lớn nhất của một tam giác nhận

b

làm một cạnh và nằm trong

P

. Chứng minh rằng tổng các diện tích được gán cho các cạnh của

P

lớn hơn hoặc bằng hai lần diện tích của

P

Bước 1 trên 5: Phủ một

2m

-giác gần lồi bởi

m

hình bướm

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Khi đường chéo chính có hướng $P_iP_{i+m}$ bước từ $i=0$ đến $i=m$ , nó đảo chiều từ $P_0P_m$ sang $P_mP_0$ , nên mọi điểm trong đa giác phải bị quét qua ít nhất một lần bởi hình nơ giữa hai đường chéo chính liên tiếp.

B_i=\triangle P_iP_{i+1}O_i\cup\triangle P_{i+m}P_{i+m+1}O_i,\quad O_i=P_iP_{i+m}\cap P_{i+1}P_{i+m+1}\quad(i=0,\dots,m-1)

Phân tích chi tiết

Gọi một đa giác là gần lồi nếu mọi góc trong của nó đều $\le 180^\circ$ (tức là một đa giác lồi có thêm một số đỉnh nằm trên các cạnh). Đánh số các đỉnh của một $2m$ -giác gần lồi $Q$ diện tích $S$ là $P_0,P_1,\dots,P_{2m-1}$ (chỉ số lấy mod $2m$ ). Với $i=0,\dots,m-1$ , hai đường chéo chính $P_iP_{i+m}$ và $P_{i+1}P_{i+m+1}$ cắt nhau tại một điểm $O_i\in Q$ và giới hạn một hình bướm tự cắt $B_i=\triangle P_iP_{i+1}O_i\cup\triangle P_{i+m}P_{i+m+1}O_i$ . Khi $i$ tăng từ $0$ đến $m$ , đường thẳng có hướng $P_iP_{i+m}$ đảo hướng từ $P_0P_m$ sang $P_mP_0$ , nên mọi điểm trong $X\in Q$ đều đổi phía ở một bước $i$ nào đó và do đó nằm trong $B_i$ . Vậy $Q=\bigcup_{i=0}^{m-1}B_i$ .