Math Labs

Bài 1

Cho các số thực a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Với mỗi ii (1≤i≤n1 \le i \le n), đặt di=max⁡{aj:1≤j≤i}−min⁡{aj:i≤j≤n}d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\} và d=max⁡{di:1≤i≤n}d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\}. (a) Chứng minh rằng, với mọi số thực x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n, ta có max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2}. (b) Chứng minh rằng tồn tại các số thực x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n để dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên.
Bước 1 trên 5: Nhận ra độ trải lớn nhất là một hiệu đơn
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Giá trị lớn nhất chạy đến qq và giá trị nhỏ nhất chạy từ qq trở đi đều là các số hạng thực sự của dãy, nên hiệu của chúng đúng là ap−ara_p - a_r.

d=dq=ap−ar,1≤p≤q≤r≤nd = d_q = a_p - a_r, \qquad 1 \le p \le q \le r \le n
Phân tích chi tiết

Chọn qq sao cho d=dqd = d_q, rồi chọn p≤q≤rp \le q \le r sao cho ap=max⁡{aj:1≤j≤q}a_p = \max\{a_j : 1 \le j \le q\} và ar=min⁡{aj:q≤j≤n}a_r = \min\{a_j : q \le j \le n\}, do đó d=ap−ard = a_p - a_r. Vì ap≥aq≥ara_p \ge a_q \ge a_r, ta cũng có d≥0d \ge 0.