Math Labs

Bài 4

Trong tam giác ABCABC, đường phân giác của góc BCABCA cắt lại đường tròn ngoại tiếp tại RR, cắt đường trung trực của BCBC tại PP, và cắt đường trung trực của ACAC tại QQ. Trung điểm của BCBC là KK và trung điểm của ACAC là LL. Chứng minh rằng hai tam giác RPKRPK và RQLRQL có cùng diện tích.
Bước 1 trên 4: Hai tam giác vuông đồng dạng tại K và L cho góc bằng nhau và tỉ số cạnh
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hai đường trung trực gặp đường phân giác góc tại cùng một góc 90∘−C290^\circ - \dfrac{C}{2}, khiến hai tam giác vuông CKPCKP và CLQCLQ đồng dạng.

△CKP∼△CLQ  ⟹  PKQL=CPCQ,∠RPK=90∘+C2=∠RQL\triangle CKP \sim \triangle CLQ \implies \frac{PK}{QL} = \frac{CP}{CQ}, \qquad \angle RPK = 90^\circ + \frac{C}{2} = \angle RQL
Phân tích chi tiết

Đặt C=∠BCAC = \angle BCA, khi đó ∠KCP=∠LCQ=C2\angle KCP = \angle LCQ = \dfrac{C}{2}. Vì PK⊥BCPK \perp BC tại KK và QL⊥ACQL \perp AC tại LL, hai tam giác vuông CKPCKP và CLQCLQ đồng dạng, cho ta PKQL=CPCQ\dfrac{PK}{QL} = \dfrac{CP}{CQ} và ∠CPK=∠CQL=90∘−C2\angle CPK = \angle CQL = 90^\circ - \dfrac{C}{2}. Các góc bù của chúng dọc theo đường thẳng CRCR do đó thỏa mãn ∠RPK=∠RQL=90∘+C2\angle RPK = \angle RQL = 90^\circ + \dfrac{C}{2}.