Bài 6

Cho

n

là một số nguyên dương. Xét

S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\}

như một tập gồm

(n+1)^3-1

điểm trong không gian ba chiều. Xác định số mặt phẳng nhỏ nhất mà hợp của chúng chứa

S

nhưng không chứa

(0,0,0)

Bước 1 trên 5: Chuyển một phủ mặt phẳng tránh gốc tọa độ thành một đa thức

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Bất kỳ mặt phẳng nào bỏ qua $(0,0,0)$ đều có phương trình $a_i x + b_i y + c_i z = 1$ , nên nhân các nhân tử tuyến tính biến một hợp của $m$ mặt phẳng phủ $S$ thành một đa thức bậc $m$ triệt tiêu trên $S$ nhưng khác không tại $(0,0,0)$ .

P(x,y,z) = \prod_{i=1}^m (a_i x + b_i y + c_i z - 1), \qquad \deg P = m, \quad P|_S = 0, \quad P(0,0,0) = (-1)^m \ne 0

Phân tích chi tiết

Cho $m$ mặt phẳng $H_1,\ldots,H_m$ phủ $S$ và không đi qua $(0,0,0)$ . Mỗi $H_i$ có thể viết dưới dạng $a_i x + b_i y + c_i z = 1$ . Khi đó $P(x,y,z) = \prod_{i=1}^m (a_i x + b_i y + c_i z - 1)$ có bậc $m$ , triệt tiêu tại mọi điểm của $S$ (vì mỗi điểm của $S$ nằm trên một $H_i$ nào đó), và thỏa $P(0,0,0) = (-1)^m \ne 0$ .