Math Labs

Bài 1

Tam giác nhọn ABCABC có trực tâm HH. Đường tròn đi qua HH với tâm là trung điểm của BCBC cắt đường thẳng BCBC tại A1A_1 và A2A_2. Tương tự, đường tròn đi qua HH với tâm là trung điểm của CACA cắt đường thẳng CACA tại B1B_1 và B2B_2, và đường tròn đi qua HH với tâm là trung điểm của ABAB cắt đường thẳng ABAB tại C1C_1 và C2C_2. Chứng minh rằng A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 cùng nằm trên một đường tròn.
Bước 1 trên 3: Biểu diễn OA_1^2 và OA_2^2 qua trung điểm A_0 và tâm đường tròn ngoại tiếp O
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Vì OO nằm trên đường trung trực của BCBC tại A0A_0 và đường tròn tâm A0A_0 đi qua H,A1,A2H, A_1, A_2, định lý Pythagoras biểu diễn OA12OA_1^2 và OA22OA_2^2 theo OA0OA_0 và A0HA_0H.

OA0⊥BC,A0A1=A0A2=A0H  ⟹  OA12=OA22=OA02+A0H2OA_0 \perp BC, \quad A_0A_1 = A_0A_2 = A_0H \implies OA_1^2 = OA_2^2 = OA_0^2 + A_0H^2
Phân tích chi tiết

Gọi OO là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC\triangle ABC và A0,B0,C0A_0, B_0, C_0 là trung điểm của BC,CA,ABBC, CA, AB. Vì OA0⊥BCOA_0 \perp BC và A1,A2∈BCA_1, A_2 \in BC nằm trên đường tròn tâm A0A_0 bán kính A0HA_0H, các tam giác vuông OA0A1OA_0A_1 và OA0A2OA_0A_2 cho OA12=OA22=OA02+A0A12=OA02+A0H2OA_1^2 = OA_2^2 = OA_0^2 + A_0A_1^2 = OA_0^2 + A_0H^2.