Math Labs

Bài 6

Cho ABCDABCD là một tứ giác lồi với BA≠BCBA \ne BC. Gọi các đường tròn nội tiếp của các tam giác ABCABC và ADCADC lần lượt là ω1\omega_1 và ω2\omega_2. Giả sử tồn tại một đường tròn ω\omega tiếp xúc với tia BABA ở phía ngoài AA và tia BCBC ở phía ngoài CC, đồng thời tiếp xúc với các đường thẳng ADAD và CDCD. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến chung ngoài của ω1\omega_1 và ω2\omega_2 cắt nhau trên ω\omega.
Bước 1 trên 4: Chứng minh hệ thức kiểu Pitot AB + AD = CB + CD từ omega
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Biểu diễn mỗi cạnh của ABCDABCD theo các đoạn tiếp tuyến từ bốn đỉnh đến ω\omega rồi triệt tiêu từng cặp.

BK=BL,AK=AN,CL=CM,DN=DM  ⟹  AB+AD=CB+CDBK=BL,\quad AK=AN,\quad CL=CM,\quad DN=DM \implies AB+AD=CB+CD
Phân tích chi tiết

Gọi ω\omega tiếp xúc với tia BABA phía ngoài AA tại KK, với tia BCBC phía ngoài CC tại LL, và với các phần kéo dài của ADAD, CDCD phía ngoài DD lần lượt tại NN, MM. Các tiếp tuyến kẻ từ cùng một đỉnh đến ω\omega bằng nhau, nên BK=BLBK = BL, AK=ANAK = AN, CL=CMCL = CM, DN=DMDN = DM. Do đó AB+AD=(BK−AK)+(AN−DN)=BK−DN=BL−DM=(BL−CL)+(CM−DM)=CB+CDAB + AD = (BK - AK) + (AN - DN) = BK - DN = BL - DM = (BL - CL) + (CM - DM) = CB + CD.