Math Labs

Bài 2

Cho tam giác ABCABC với tâm đường tròn ngoại tiếp OO. Các điểm PP và QQ là các điểm trong của cạnh CACA và ABAB tương ứng. Gọi KK, LL, MM lần lượt là trung điểm các đoạn BPBP, CQCQ, PQPQ, và gọi Γ\Gamma là đường tròn đi qua KK, LL, MM. Giả sử đường thẳng PQPQ tiếp xúc với đường tròn Γ\Gamma. Chứng minh rằng OP=OQOP = OQ.
Bước 1 trên 4: Nhận ra K, L, M là đầu mút đường trung bình
Hiểu nôm na

M là trung điểm chung trong cả hai tam giác PQB và QPC cùng với K, L, nên MK và ML là các đường trung bình song song với các cạnh ngoài.

MK∥AB, MK=12QBML∥AC, ML=12PCMK \parallel AB,\ MK=\tfrac12 QB \qquad ML \parallel AC,\ ML=\tfrac12 PC
Phân tích chi tiết

Trong tam giác PQBPQB, MM và KK là trung điểm của PQPQ và PBPB, nên MKMK là đường trung bình: MK∥QBMK\parallel QB, tức MK∥ABMK\parallel AB, với MK=12QBMK=\tfrac12 QB. Tương tự trong tam giác QPCQPC, MM và LL là trung điểm của QPQP và QCQC, nên ML∥PCML\parallel PC, tức ML∥ACML\parallel AC, với ML=12PCML=\tfrac12 PC. Vì MK∥ABMK\parallel AB và ML∥ACML\parallel AC, góc giữa MKMK và MLML bằng góc giữa ABAB và ACAC: ∠KML=∠BAC\angle KML=\angle BAC. Ngoài ra MLMK=PCQB\dfrac{ML}{MK}=\dfrac{PC}{QB}.