Bài 5

Xác định tất cả các hàm

f

từ tập số nguyên dương vào tập số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên dương

a

và

b

, tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài các cạnh là

a

f(b)

và

f(b+f(a)-1)

. (Một tam giác không suy biến là tam giác có các đỉnh không thẳng hàng.)

Bước 1 trên 4: f(1) = 1 và f là một phép đối hợp

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Cạnh có độ dài 1 là ràng buộc chặt nhất trong bất đẳng thức tam giác, nên thử a=1 xác định f(1), và sau đó thử b=1 khiến f là nghịch đảo của chính nó.

f(1)=1,\qquad f(f(n))=n\ \text{ for every } n

Phân tích chi tiết

Lấy $a=1$ : tam giác với các cạnh $1,f(b),f(b+f(1)-1)$ có hai cạnh chênh lệch nhau ít hơn cạnh thứ ba là $1$ ; vì $f(b)$ và $f(b+f(1)-1)$ là số nguyên, chúng phải bằng nhau, với mọi $b$ . Nếu $f(1)>1$ , đặt $N=f(1)-1\ge1$ ; khi đó $f(b)=f(b+N)$ với mọi $b$ khiến $f$ tuần hoàn với chu kỳ $N$ , do đó bị chặn, giả sử $f\le B$ luôn. Nhưng giữ $b$ cố định và cho $a$ lớn tùy ý trong điều kiện ban đầu đòi hỏi $a<f(b)+f(b+f(a)-1)\le 2B$ , vô lý khi $a$ lớn. Vậy $f(1)=1$ . Bây giờ lấy $b=1$ : tam giác với các cạnh $n,f(1)=1,f(1+f(n)-1)=f(f(n))$ lại có hai cạnh ( $n$ và $f(f(n))$ ) chênh lệch nhau ít hơn cạnh thứ ba là $1$ , nên vì là số nguyên, $f(f(n))=n$ với mọi $n$ .