Bài 1

Tìm tất cả các hàm số

f:\mathbb R\to\mathbb R

sao cho với mọi số thực

x,y

f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor

Bước 1 trên 6: Thay số không vào biến thứ nhất

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Phần nguyên của số không làm vế trái không phụ thuộc biến thứ hai, nên giá trị tại gốc khống chế mọi phần nguyên ở vế phải.

f(0)=f(0)\lfloor f(y)\rfloor\quad\text{for all }y\in\mathbb R

Phân tích chi tiết

Đặt $x=0$ vào phương trình ta được $f(0)=f(0)\lfloor f(y)\rfloor$ với mọi $y$ thực. Nếu $f(0)\ne0$ , chia cho $f(0)$ cho $\lfloor f(y)\rfloor=1$ với mọi đầu vào, nên $1\le f(y)<2$ với mọi $y$ . Nếu không, ta ở trường hợp $f(0)=0$ .