MathLabs

Bài 5

Ban đầu mỗi hộp trong sáu hộp B1,B2,B3,B4,B5,B6B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6 có một đồng xu. Phép loại 1 chọn một hộp không rỗng BjB_j với 1≤j≤51\le j\le5, lấy đi một đồng xu và thêm hai đồng xu vào Bj+1B_{j+1}. Phép loại 2 chọn một hộp không rỗng BkB_k với 1≤k≤41\le k\le4, lấy đi một đồng xu rồi đổi chỗ lượng xu trong hai hộp (có thể rỗng) Bk+1B_{k+1} và Bk+2B_{k+2}. Hãy xác định liệu có thể thực hiện một dãy hữu hạn các phép để B1,B2,B3,B4,B5B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 rỗng còn B6B_6 chứa đúng 2010201020102010^{2010^{2010}} đồng xu hay không. Ở đây abca^{b^c} nghĩa là a(bc)a^{(b^c)}.
Bước 1 trên 5: Đạt một cấu hình hạt giống hữu ích
Bước trướcBước tiếp
(1,1,1,1,1,1)→(0,0,5,11,0,0)(1,1,1,1,1,1)\to(0,0,5,11,0,0)
Phân tích chi tiết

Gọi cấu hình là (B1,B2,B3,B4,B5,B6)(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6). Thực hiện phép loại 1 tại B5B_5 rồi tại B1B_1 đưa ta đến (0,3,1,1,0,3)(0,3,1,1,0,3). Các phép hợp lệ tiếp theo, với những tọa độ không đổi được lược bỏ, là (0,3,1,1,0,3)→(0,0,7,0,0,7)→(0,0,6,2,0,7)→(0,0,6,1,2,7)→(0,0,6,1,0,11)→(0,0,6,0,11,0)→(0,0,5,11,0,0)(0,3,1,1,0,3)\to(0,0,7,0,0,7)\to(0,0,6,2,0,7)\to(0,0,6,1,2,7)\to(0,0,6,1,0,11)\to(0,0,6,0,11,0)\to(0,0,5,11,0,0). Mũi tên đầu dùng phép loại 1 tại B2B_2 ba lần, rồi tại B4B_4 một lần và B5B_5 hai lần; các mũi tên sau lần lượt dùng phép loại 1 tại B3B_3, phép loại 1 tại B4B_4, phép loại 1 tại B5B_5 hai lần, phép loại 2 tại B4B_4, và phép loại 2 tại B3B_3. Do đó cấu hình hạt giống đã cho là đạt được.