Math Labs

Bài 2

Cho SS là một tập hợp hữu hạn gồm ít nhất hai điểm trong mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào của SS thẳng hàng. Một cối xay gió là một quá trình bắt đầu với một đường thẳng đi qua một điểm duy nhất P∈SP\in S. Đường thẳng quay theo chiều kim đồng hồ quanh trục PP cho đến lần đầu tiên nó gặp một điểm khác thuộc SS. Điểm này, QQ, trở thành trục quay mới, và đường thẳng lại quay theo chiều kim đồng hồ quanh QQ cho đến khi gặp một điểm của SS. Quá trình này tiếp diễn mãi mãi. Hãy chứng minh rằng ta có thể chọn một điểm PP trong SS và một đường thẳng đi qua PP sao cho cối xay gió thu được dùng mỗi điểm của SS làm trục quay vô hạn lần.
Bước 1 trên 6: Thiết lập hướng, đường thẳng thông thường và đường thẳng cân bằng
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Cho mỗi đường thẳng có bên trái, bên phải; gọi một hướng là xấu chỉ khi hai điểm của S cùng nằm trên hướng đó, và tìm đường thẳng qua một điểm chia phần còn lại đều nhất có thể.

⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor
Phân tích chi tiết

Gọi các điểm của SS là đỉnh và đặt n=∣S∣n=|S|. Định hướng mọi đường thẳng để nó có một bên phải xác định. Gọi một hướng là thông thường nếu không đường thẳng nào theo hướng đó đi qua hai đỉnh, và gọi một đường thẳng là thông thường nếu hướng của nó thông thường; vì không có ba đỉnh nào của SS thẳng hàng, chỉ có hữu hạn hướng (các hướng của đoạn nối từng cặp đỉnh) không thông thường. Gọi một đường thẳng là đường cân bằng nếu nó đi qua đúng một đỉnh và có đúng ⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor đỉnh còn lại nằm bên phải.