Bài 3

Cho

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

là một hàm thực xác định trên tập số thực thỏa mãn

f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))

với mọi số thực

x

và

y

. Chứng minh rằng

f(x)=0

với mọi

x\le0

Bước 1 trên 5: Đặt tên hai giá trị đặc biệt và chặn f khắp nơi

Hiểu nôm na

Thay x=0 biến bất đẳng thức thành một chặn trên tuyến tính đơn giản cho f, biểu diễn qua f(0) và f(f(0)).

f(y)\le ay+b

Phân tích chi tiết

Đặt $a=f(0)$ và $b=f(f(0))=f(a)$ . Thay $x=0$ vào bất đẳng thức đã cho ta được $f(y)\le ay+b$ với mọi số thực $y$ .