Bài 5

Cho

f

là một hàm từ tập số nguyên đến tập số nguyên dương. Giả sử rằng, với hai số nguyên bất kỳ

m

và

n

, hiệu

f(m)-f(n)

chia hết cho

f(m-n)

. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên

m

và

n

mà

f(m)\le f(n)

, số

f(n)

chia hết cho

f(m)

Bước 1 trên 5: Mọi giá trị đều chia hết f(0)

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

So sánh một điểm với chính nó trừ 0 cho thấy f tại điểm đó đã chia hết khoảng cách của chính nó tới f(0), và một số luôn chia hết chính nó, nên nó cũng chia hết f(0).

f(x)\mid f(0)

Phân tích chi tiết

Đặt $n=0$ trong giả thiết cho $f(x)\mid f(x)-f(0)$ với mọi số nguyên $x$ . Vì $f(x)$ luôn chia hết chính nó, nó cũng chia hết hiệu $f(x)-\big(f(x)-f(0)\big)=f(0)$ ; tức $f(x)\mid f(0)$ với mọi số nguyên $x$ .