Math Labs

Bài 6

Tìm mọi số nguyên dương nn sao cho tồn tại các số nguyên không âm a1,…,ana_1,\dots,a_n thỏa ∑i=1n2−ai=∑i=1ni3−ai=1\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1.
Bước 1 trên 4: Suy ra điều kiện đồng dư cần thiết
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Nhân với lũy thừa 3 lớn nhất biến đẳng thức thứ hai thành một đồng dư nguyên modulo n.

3M=∑i=1ni3M−ai≡n(n+1)2≡1(mod2)3^M=\sum_{i=1}^n i3^{M-a_i}\equiv\frac{n(n+1)}2\equiv1\pmod2
Phân tích chi tiết

Đặt M=max⁡iaiM=\max_i a_i. Nhân ∑i=1ni3−ai=1\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1 với 3M3^M được 3M=∑ii3M−ai3^M=\sum_i i3^{M-a_i}. Giảm đẳng thức nguyên này theo modulo 2, vế trái lẻ còn vế phải đồng dư với 1+2+⋯+n=n(n+1)/21+2+\cdots+n=n(n+1)/2. Vậy số tam giác này lẻ, suy ra n≡1,2(mod4)n\equiv1,2\pmod4.