Math Labs

Bài 4

Cho tam giác nhọn ABCABC với trực tâm HH, và WW là điểm nằm trên cạnh BCBC, ở giữa BB và CC. Gọi MM và NN lần lượt là chân đường cao từ BB và từ CC. Gọi ω1\omega_1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác BWNBWN, và XX là điểm trên ω1\omega_1 sao cho WXWX là đường kính của ω1\omega_1. Tương tự, gọi ω2\omega_2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác CWMCWM, và YY là điểm sao cho WYWY là đường kính của ω2\omega_2. Chứng minh rằng X,YX, Y và HH thẳng hàng.
Bước 1 trên 5: Đường tròn thứ ba qua bốn điểm liên quan đến đường cao
Bước trướcBước tiếp
ω3:=circle through B,C,N,M(∠BNC=∠BMC=90∘)\omega_3 := \text{circle through } B,C,N,M \quad (\angle BNC=\angle BMC=90^\circ)
Phân tích chi tiết

Gọi LL là chân đường cao từ AA, và ZZ là giao điểm thứ hai của ω1\omega_1 và ω2\omega_2 khác WW. Vì ∠BNC=∠BMC=90∘\angle BNC=\angle BMC=90^\circ, bốn điểm B,C,N,MB,C,N,M cùng nằm trên một đường tròn ω3\omega_3.