Math Labs

Bài 1

Cho a0<a1<a2<⋯a_0<a_1<a_2<\cdots là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một số nguyên n≥1n\ge1 sao cho an<a0+a1+⋯+ann≤an+1.a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.
Bước 1 trên 5: Đưa vào hiệu d_n
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Nhân các bất đẳng thức cần chứng minh với nn biến chúng thành phát biểu về số nguyên, dễ kiểm soát hơn là làm việc trực tiếp với phân số.

dn:=(a0+a1+⋯+an)−nand_n := (a_0+a_1+\cdots+a_n) - n a_n
Phân tích chi tiết

Với n≥1n\ge1, đặt dn=(a0+a1+⋯+an)−nand_n=(a_0+a_1+\cdots+a_n)-na_n, đây là số nguyên vì mọi aia_i đều nguyên. Bất đẳng thức an<a0+⋯+anna_n<\frac{a_0+\cdots+a_n}{n} tương đương với nan<a0+⋯+anna_n<a_0+\cdots+a_n, tức dn>0d_n>0.