Math Labs

Bài 3

Cho tứ giác lồi ABCDABCD với ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC=\angle CDA=90^\circ. Điểm HH là chân đường vuông góc từ AA xuống BDBD. Các điểm SS và TT lần lượt nằm trên cạnh ABAB và ADAD sao cho HH nằm trong tam giác SCTSCT và ∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ, ∠THC−∠DTC=90∘\angle THC-\angle DTC=90^\circ. Chứng minh rằng đường thẳng BDBD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác TSHTSH.
Bước 1 trên 6: Định vị tâm ngoại tiếp K của SHC trên đường thẳng AB
Bước trướcBước tiếp
∠SQC=90∘−∠BSC=180∘−∠SHC  ⟹  C,H,S,Q concyclic\angle SQC = 90^\circ - \angle BSC = 180^\circ - \angle SHC \implies C,H,S,Q \text{ concyclic}
Phân tích chi tiết

Gọi đường thẳng qua CC vuông góc với SCSC cắt đường thẳng ABAB tại QQ. Từ ∠CHS−∠CSB=90∘\angle CHS-\angle CSB=90^\circ ta có ∠SQC=90∘−∠BSC=180∘−∠SHC\angle SQC=90^\circ-\angle BSC=180^\circ-\angle SHC, nên C,H,S,QC,H,S,Q cùng nằm trên một đường tròn với đường kính SQSQ; do đó tâm ngoại tiếp KK của tam giác SHCSHC, là trung điểm đường kính đó, nằm trên đường thẳng ABAB.