Math Labs

Bài 4

Cho các điểm PP và QQ nằm trên cạnh BCBC của tam giác nhọn ABCABC sao cho ∠PAB=∠BCA\angle PAB=\angle BCA và ∠CAQ=∠ABC\angle CAQ=\angle ABC. Các điểm MM và NN lần lượt nằm trên đường thẳng APAP và AQAQ sao cho PP là trung điểm của AMAM, và QQ là trung điểm của ANAN. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng BMBM và CNCN nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC.
Bước 1 trên 5: Thiết lập: hai tam giác đồng dạng ở đáy
Bước trướcBước tiếp
β:=∠QAC=∠CBA,γ:=∠PAB=∠ACB  ⟹  △ABP∼△CAQ\beta := \angle QAC = \angle CBA, \quad \gamma := \angle PAB = \angle ACB \implies \triangle ABP \sim \triangle CAQ
Phân tích chi tiết

Đặt β=∠QAC=∠CBA\beta=\angle QAC=\angle CBA và γ=∠PAB=∠ACB\gamma=\angle PAB=\angle ACB theo giả thiết. Trong tam giác ABPABP, góc tại AA là γ\gamma và góc tại BB là ∠ABC=β\angle ABC=\beta; trong tam giác CAQCAQ, góc tại CC là γ\gamma và góc tại AA là β\beta. Ghép các cặp góc bằng nhau này cho △ABP∼△CAQ\triangle ABP\sim\triangle CAQ (với A↔CA\leftrightarrow C, B↔AB\leftrightarrow A), suy ra BPPA=AQQC\dfrac{BP}{PA}=\dfrac{AQ}{QC}.