Bài 1

Ta nói một tập hợp hữu hạn

S

các điểm trong mặt phẳng là cân bằng nếu với hai điểm phân biệt bất kỳ

A

và

B

trong

S

, tồn tại một điểm

C

trong

S

sao cho

AC=BC

. Ta nói

S

là không tâm nếu với ba điểm phân biệt bất kỳ

A

B

C

trong

S

, không tồn tại điểm

P

trong

S

sao cho

PA=PB=PC

. (a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên

n\ge3

, tồn tại một tập hợp cân bằng gồm

n

điểm. (b) Xác định tất cả các số nguyên

n\ge3

mà với chúng tồn tại một tập hợp cân bằng và không tâm gồm

n

điểm.

Bước 1 trên 5: Các tập hợp cân bằng với mọi kích thước lẻ

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Một tam giác đều tự nó đã cân bằng, nên ghép nhiều tam giác như vậy tại một đỉnh chung vẫn nên giữ được tính cân bằng.

V=\{O,A_1,B_1,\dots,A_k,B_k\},\quad \triangle OA_iB_i \text{ equilateral}

Phân tích chi tiết

Cố định một đường tròn tâm $O$ bán kính $r$ . Với $i=1,\dots,k$ , chọn các điểm $A_i,B_i$ trên đường tròn sao cho $\triangle OA_iB_i$ là tam giác đều, và đặt $V=\{O,A_1,B_1,\dots,A_k,B_k\}$ , một tập hợp gồm $2k+1$ điểm. Mọi điểm khác $O$ đều cách $O$ một khoảng $r$ , nên với hai điểm như vậy $A_i,A_j$ ta có thể lấy $C=O$ . Với cặp $(O,A_i)$ , đỉnh thứ ba $B_i$ thỏa mãn $B_iO=B_iA_i$ vì $\triangle OA_iB_i$ là tam giác đều. Do đó $V$ là cân bằng, và $|V|=2k+1$ chạy qua mọi số lẻ $\ge 3$ khi $k=1,2,\dots$ .