Math Labs

Bài 2

Xác định tất cả các bộ ba (a,b,c)(a,b,c) các số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số ab−cab-c, bc−abc-a, và ca−bca-b đều là một lũy thừa của 22 (một lũy thừa của 22 là số nguyên có dạng 2n2^n, trong đó nn là số nguyên không âm).
Bước 1 trên 8: Dùng tính đối xứng và sắp thứ tự các biến
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hoán vị a,b,ca,b,c chỉ hoán vị ba biểu thức, nên ta có thể giả sử a≤b≤ca\le b\le c.

(a,b,c)↦(b,a,c) fixes {ab−c, bc−a, ca−b} as a set(a,b,c)\mapsto(b,a,c)\ \text{fixes}\ \{ab-c,\,bc-a,\,ca-b\}\ \text{as a set}
Phân tích chi tiết

Đổi chỗ bất kỳ hai biến nào cũng chỉ hoán vị tập {ab−c,bc−a,ca−b}\{ab-c,bc-a,ca-b\} nên các điều kiện đối xứng. Giả sử a≤b≤ca\le b\le c và đặt ab−c=2mab-c=2^m, ac−b=2nac-b=2^n, bc−a=2pbc-a=2^p. Các bất đẳng thức ab−c≤ac−b≤bc−aab-c\le ac-b\le bc-a lần lượt suy ra từ (a+1)(c−b)≥0(a+1)(c-b)\ge0 và (c+1)(b−a)≥0(c+1)(b-a)\ge0, nên m≤n≤pm\le n\le p.