Bài 3

Gọi $L$ là điểm trên đường tròn chín điểm sao cho $\angle HML=90^\circ$. Phép nghịch đảo âm $\iota$ tâm $H$ biến đổi $\Gamma$ thành đường tròn chín điểm, gửi $A\mapsto F$ (cả hai đều là các điểm liên quan đến chân đường cao trên các đường tròn tương ứng đi qua $H$), $Q\mapsto M$ (dùng $\angle HQA=90^\circ$ và sự tương ứng kiểu $\angle HMA$ trên đường tròn chín điểm), và $K\mapsto L$. Vì phép nghịch đảo bảo toàn tính tiếp xúc của các đường tròn đi qua tâm, còn $(KQH)$ đi qua tâm nghịch đảo $H$, việc chứng minh $(KQH)$ tiếp xúc với $(FKM)$ tương đương với việc chứng minh đường thẳng $ML$ (ảnh nghịch đảo của đường tròn $(KQH)$, vì đường tròn đi qua tâm biến thành đường thẳng) tiếp xúc với ảnh nghịch đảo của $(FKM)$, tức là đường tròn $(AQL)$.