Math Labs

Bài 6

Dãy số nguyên a1,a2,…a_1,a_2,\dots thỏa mãn các điều kiện: (i) 1≤aj≤20151\le a_j\le 2015 với mọi j≥1j\ge1; (ii) k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne \ell+a_\ell với mọi 1≤k<ℓ1\le k<\ell. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương bb và NN sao cho ∣∑j=m+1n(aj−b)∣≤10072\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2 với mọi số nguyên mm và nn thỏa mãn n>m≥Nn>m\ge N.
Bước 1 trên 6: Ánh xạ k↦k+akk\mapsto k+a_k không bao giờ lặp lại
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Điều kiện (ii) chính xác là khẳng định rằng không có hai chỉ số nào ánh xạ tới cùng một giá trị.

f(k)=k+ak is injective on the positive integersf(k)=k+a_k\ \text{is injective on the positive integers}
Phân tích chi tiết

Điều kiện (ii), k+ak≠ℓ+aℓk+a_k\ne\ell+a_\ell với k≠ℓk\ne\ell, chính xác nghĩa là ánh xạ f(k)=k+akf(k)=k+a_k là đơn ánh trên tập các số nguyên dương. Vì 1≤ak≤20151\le a_k\le2015, ta có f(k)∈{k+1,…,k+2015}f(k)\in\{k+1,\dots,k+2015\}: mỗi mũi tên k↦f(k)k\mapsto f(k) nhảy về phía trước không quá 20152015.