Math Labs

Bài 2

Tìm tất cả các số nguyên nn sao cho mỗi ô của bảng n×nn\times n có thể được điền bằng một trong các chữ cái II, MM, OO theo cách sau: trong mỗi hàng và mỗi cột, một phần ba số ô là II, một phần ba là MM, và một phần ba là OO; và trên mọi đường chéo, nếu số ô trên đường chéo đó là bội của ba thì một phần ba số ô trên đường chéo đó là II, một phần ba là MM, và một phần ba là OO. (Lưu ý rằng một bảng n×nn\times n có tổng cộng 4n−24n-2 đường chéo, theo cả hai hướng.)
Bước 1 trên 5: Cấu tạo: một bảng 9×99\times9 hợp lệ tường minh
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Có thể kiểm tra trực tiếp bảng sau: mọi hàng, cột và đường chéo có độ dài là bội của ba đều chứa mỗi chữ cái một phần ba. Lặp tuần hoàn bảng này cho mọi bội của 99.

A valid 9×9 tile, repeated periodically\text{A valid }9\times9\text{ tile, repeated periodically}
Phân tích chi tiết

Dùng bảng 9×99\times9 sau: IOMOMIMOI IOMOIMOIM IMIMOMIOO OIOIOMMIM MOIIMOIOM MIMOIOOMI OIOMMIMIO MMOIIOOMI OMIMOIIMO. Đếm trực tiếp chín hàng, chín cột và mọi đường chéo có độ dài 33, 66 hoặc 99 cho thấy mỗi chữ cái xuất hiện đúng một phần ba. Lặp bảng này với chu kỳ 99 theo cả hai hướng. Mỗi đoạn đường chéo có độ dài chia hết cho 33 phân rã thành các lớp dư theo bước ba của cùng kiểm tra tuần hoàn, nên cũng có đúng một phần ba mỗi chữ cái.