Bài 3

Chỉ cần chứng minh khẳng định cho $n=p^e$ với $p$ là số nguyên tố lẻ, $e\ge1$ (trường hợp $n$ lẻ tổng quát khi đó suy ra vì tính chia hết $2S$ bởi từng nhân tử lũy thừa số nguyên tố của $n$ kết hợp lại thành chia hết cho $n$). Với $k=3$ (một tam giác với các cạnh $a,b,c$), công thức Heron ở dạng đối xứng cho $S=\tfrac14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}$, do đó $16S^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$. Nếu $p^e\mid\gcd(a^2,b^2,c^2)$ thì $p^e$ chia hết mỗi $a^2,b^2,c^2$, do đó $p^{2e}$ chia hết mọi số hạng ở vế phải, suy ra $p^{2e}\mid16S^2$, và vì $p$ lẻ nên điều này cho $p^{2e}\mid S^2$ ngoại trừ thừa số $16=2^4$ không đóng góp số nguyên tố lẻ nào, do đó $p^e\mid 2S$.