Math Labs

Bài 5

Phương trình (x−1)(x−2)⋯(x−2016)=(x−1)(x−2)⋯(x−2016)(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) được viết trên bảng, với 20162016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hỏi giá trị nhỏ nhất có thể của kk là bao nhiêu để có thể xóa đúng kk trong số 40324032 nhân tử bậc nhất này sao cho mỗi vế còn lại ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực?
Bước 1 trên 6: Tính cần thiết: phải xóa ít nhất 20162016 nhân tử
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Nếu một nhân tử (x−i)(x-i) còn nguyên vẹn ở cả hai vế thì x=ix=i hiển nhiên là một nghiệm thực.

k≥2016k\ge2016
Phân tích chi tiết

Có 20162016 nhân tử bậc nhất chung (x−1),…,(x−2016)(x-1),\dots,(x-2016) ở cả hai vế. Nếu bất kỳ nhân tử nào trong số đó, chẳng hạn (x−i)(x-i), còn nguyên vẹn ở cả hai vế, thì x=ix=i là nghiệm của phương trình thu được. Vậy phải xóa ít nhất một bản sao của mỗi (x−i)(x-i), nghĩa là tổng cộng phải xóa ít nhất 20162016 nhân tử.