Bài 1

Vì $a_{n+1}$ hoàn toàn được xác định chỉ bởi $a_n$ qua một hàm cố định $\Phi$ (là $\sqrt{a_n}$ hoặc $a_n+3$), nên nếu có hai số hạng trùng nhau, $a_i=a_j$ với $i<j$, thì $a_{i+k}=a_{j+k}$ với mọi $k\ge 0$: dãy trở nên tuần hoàn đúng với chu kỳ $j-i$ kể từ chỉ số $i$, nên $a_i$ lặp lại vô hạn lần. Ngược lại, nếu một số nào đó lặp lại vô hạn lần, hai chỉ số mà nó xuất hiện cho $a_i=a_j$ với $i<j$, theo lập luận trên buộc dãy tuần hoàn, nên dãy chỉ nhận hữu hạn giá trị, tức bị chặn. Vậy tồn tại $A$ lặp lại vô hạn lần khi và chỉ khi dãy $(a_n)$ bị chặn.